Consigne: Trouver la matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) est sous forme de Jordan, avec $$A=\begin{pmatrix}3&4&4&0&0\\ -1&-1&1&0&0\\ 0&0&-1&0&0\\ -1&0&1&7&-12\\ 2&1&0&4&-7\end{pmatrix}$$
Calcul du polynôme caractéristique (le déterminant est triangulaire par blocs et on peut procéder par développement par ligne/colonne) \(\to\) en déduire les valeurs propres $$\begin{align} P_A(X)&=\left|\begin{array}{ccc|cc}3-X&4&4&0&0\\ -1&-1-X&1&0&0\\ 0&0&-1-X&0&0\\ \hline-1&0&1&7-X&-12\\ 2&1&0&4&-7-X\end{array}\right|\\ &=[(3-X)(-1-X)+4](-1-X)[(7-X)(-7-X)+48]\\ &=(X^2-2X+1)(-1-X)(X^2-1)\\ &=(X-1)^3(-1-X)(X+1)\end{align}$$les valeurs propres sont donc \(\lambda=1\) de multiplicité \(3\) et \(\lambda=-1\) de multiplicité \(2\)
Calcul des sous-espaces propres grâce à l'algorithme du compagnon \(\lambda=1\) : on prend \(B=A-\operatorname{Id}\)
$$\begin{align} B\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}2&4&4&0&0\\ -1&-2&1&0&0\\ 0&0&-2&0&0\\ -1&0&1&6&-12\\ 2&1&0&4&-8\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+2c_4\\ c_2\to c_2-2c_1\\ c_3\to c_3+c_1\end{array}\\ B\begin{pmatrix}1&-2&1&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\underset{\begin{array}{}\cancel {\lambda_1}&\cancel {\lambda_2}&\cancel {\lambda_3}&\cancel {\lambda_4}\end{array}}{\begin{pmatrix}2&0&\enclose{circle}6&0&0\\ \enclose{circle}{-1}&0&0&0&0\\ 0&0&-2&0&0\\ -1&\enclose{circle}2&0&6&0\\ 2&-3&2&\enclose{circle}4&0\end{pmatrix}}\end{align}$$donc \(\ker B=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\). les vecteurs de cette matrice sont indépendants, on peut le voir grâce à un système du type \(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0\) et grâce aux nombres entourés
\(A\) n'est donc pas diagonalisable
$$\begin{align} B^2\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&0&4&0&0\\ 0&0&-8&0&0\\ 0&0&4&0&0\\ -32&-16&0&-12&24\\ -17&-2&13&-8&16\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+2c_4\\ c_1\to c_1-2c_2\\ c_4\to c_4-\frac34c_2\end{array}\\ B^2\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ -2&1&0&-3/4&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&0&\enclose{circle}4&0&0\\ 0&0&-8&0&0\\ 0&0&4&0&0\\ 0&\enclose{circle}{-16}&0&0&0\\ -13&-2&13&\enclose{circle}{-13/2}&0\end{pmatrix}\end{align}$$ donc \(\ker B^2=\operatorname{Vect}\left\{\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}}_{\in\ker B},\begin{pmatrix}1\\ -1/2\\ 0\\ -2\\ 0\end{pmatrix}\right\}\)
$$\begin{align} B^3&=\begin{pmatrix}0&0&-8&0&0\\ 0&0&16&0&0\\ 0&0&-8&0&0\\ 12\times17&24-6\times16&-12\times13&24&6\times24-12\times16\\ 8\times17-4\times32&16-4\times16&-8\times13&16&4\times24-8\times16\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+2c_4\\ c_1\to c_1-?c_2\end{array}\end{align}$$
Donc \(\ker B^3=\operatorname{Vect}\left\{\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}}_{\in \ker B,\in\ker B^2},\underbrace{\begin{pmatrix}1\\ -1/2\\ 0\\ -2\\ 0\end{pmatrix}}_{\in\ker B^2},\begin{pmatrix}1\\ ?\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right\}\)
\(\lambda=-1\) : on prend \(C=A+\operatorname{Id}\)
$$\begin{align} C\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4&4&4&0&0\\ -1&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ -1&0&1&8&-12\\ 2&1&0&4&-6\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+\frac32c_4\\ c_1\to c_1+c_3\end{array}\end{align}$$ donc \(\ker C=\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 3/2\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right\}=(f_1,f_2)\)
On s'arrête parce que le nombre de vecteurs correspond à la multiplicité des valeurs propres
\((e_1,e_2,e_3)\longrightarrow(e_3,Be_3,B^2e_3)\) $$\begin{array}{l}\ker B\;\,=e_1&\cancelto{B(Be_3)}{e_1}\\ \ker B^2=e_1,e_21&\cancelto{Be_3}{e_2}\\ \ker B^3=e_1,e_2,e_3&e_3\end{array}$$
On a \(P=(e_3,Be_3,B^2e_3,f_1,f_2)\)
Donc $$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc|c|c}1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ \hline0&0&0&-1&0\\ \hline0&0&0&0&-1\end{array}\right)$$ (\(\ker(A-\operatorname{Id})=\operatorname{Vect}(e_1)\) \(\to\) \(1\) bloc de taille \(3\times3\) et \(\ker(A+\operatorname{Id})=\operatorname{Vect}(f_1,f_2)\) \(\to\) \(2\) blocs de taille \(1\times1\))
(Polynôme caractéristique d'une matrice - Polynôme associé à une matrice , Sous-espace propre , Matrice augmentée - Algorithme du compagnon )